量子论和TA的数学之美

发展史

主要参考《上帝掷骰子吗？量子物理史话》曹天元著

电磁理论

1887年赫兹的实验证明了电磁波的存在，印证了麦克斯韦的理论（电磁波方程及“光波也是电磁波”的结论），从此麦克斯韦方程组似乎已经将和电磁学牢牢拴住，成为了物理大厦的又一里程碑式的伟大创造。当然，在赫兹发表的论文中，也提到一个”微不足道“的小细节，那就是他拉开窗帘、有光照时，实验进展得更顺利，电磁波出现得更容易一点。

光学大战

对光的性质的研究先于对其本质的研究：光成像的认识、小孔成像、光总走直线假说、光的折射定律（斯涅尔定律）、费马提出“光总是走最短路径”。

究竟什么是光？早期流行“粒子说”，它可以用来解释反射等现象，但是难以解释类似“光粒子直接不会碰撞弹开”等在粒子上应该体现的问题。后来对声音的研究已经在学界引入了声波的概念，在格里马第发现光的衍射现象的推动之下，人们开始转而思考光是不是也是一种波，进而”光波动说“登上了历史舞台。但是该假说也存在一个问题，那就是在真空中（无介质）的情况下它也能传播（区别于其他波），于是人们假设出一种名为”以太(Aether)“的介质作为补丁。到此为止光的本质到底是什么仍然还是各执一词但是大家井水不犯河水。

此后，波义耳对”颜色“的本质是什么的观点作为导火索，引起了不同假说的争论。首当其冲的就是支持波动说的胡克和支持粒子说的牛顿，之后惠更斯的《光论》和牛顿的《光学》先后从波动说和粒子说的角度解释了关于光的各种现象，如牛顿环等。后者内容详尽并且驳斥了波动理论，提出了”如果光类似声波，为什么不能绕过障碍物“等诸多波动说无法解释的问题。于是，出版了《数学原理》的牛顿、发明了微积分的牛顿、拥有十足话语权的牛顿，暂时赢得了胜利。

近一百年过去了，一位名叫托马斯·杨的人突发奇想，采用了波的叠加（同相倍增反相抵消）的思路轻而易举解释了牛顿环，并且他还提出了著名实验”光的双缝干涉实验“，这个实验的现象让粒子说的支持者无以反驳。虽然波动说还面临着偏振现象这样难以解决的问题，但是确实让粒子说不再一家独大。在一次光的衍射实验竞赛中，一名法国工程师菲涅尔使用严密的数学推理，采用波动说解释了衍射，起初被竞赛评委科学家泊松轻视，称采用其理论将会得到荒谬的现象，但是在具体实验中，被他说是荒谬的现象出现了——圆盘衍射实验的成像中会出现亮点，后来这个亮点还被误导性地称为”泊松亮斑“。不仅如此，后来菲涅尔突破性地提出光是横波（而不是以往胡克等人认为的那样是纵波），完美解释了偏振问题。

接下来还有一个光在水中传播速度的问题亟待解决。如果光是粒子，那么在水中的光速应该比在真空中快，反之应该比真空慢。这个问题的结论由傅科摆实验给出，进一步证实了波动说的正确性。虽然”以太介质“的问题仍然牵制着波动说，因为光速太快了，应该通过异常坚硬的固体作为媒介而传播，但以太这个介质仍然是个谜。不过，麦克斯韦的电磁理论及其推导的预言再次在理论上印证了波动说的成功，赫兹的电磁波实验更进一步在实验上说明了光的波动性。

黄金时代

赫兹的实验成功建立起了电磁场论，随后的经典热力学也发展得熠熠生辉，二者与经典力学一起成为了物理世界的支柱。人们应用它们、赞颂它们，仿佛人类已经看透了整个世界，物理大厦毅然建起且坚不可摧，”剩下的只需要去小数点第6位之后去找寻吧“。

两朵乌云

1900年4月27日，开尔文的《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》首次用”乌云“一词概括了近年来的两个物理学困境：迈克尔逊-莫雷实验和黑体辐射实验。

迈克尔逊-莫雷实验用意在于探测光以太对于地球的漂移速度。也就是说，如果地球和以太之间存在相对运动，那么实验中的两束光返回到探测器上的时间是有微小差别的。那是的人们认为以太是一种绝对静止的参考系，所以地球穿越以太这个东西在空间中运动的话，二者相迎必然会产生相对运动，戏称”吹来以太风“。但是实验结果却大跌眼镜——二者并没有时间差。这个问题最终将导致相对论革命的爆发。

黑体辐射实验意在找到一种黑体（可以吸收所有外来辐射的物体）的辐射能量与热温度、频率之间的函数关系。学者们意图从经典物理原理出发推导出这个公式，但是却面临难以得到统一公式的尴尬局面。维恩从经典热力学思想出发，得出了仅仅适用/符合于短波情形下的实验现象，并且他的方法是用的经典粒子的方法分析的。后来的瑞利-金斯公式则尝试使用电磁波的方法，得出来适合长波的公式，但是该公式又明显不适用于短波。这个困境将为我们撬开量子论的大门。

$\rho=\begin{cases} b\lambda^{-5}e^{-\frac{a}{\lambda T}},\;(短波有效)\\ \frac{8\pi\nu^2 }{c^3}kT,\;(长波有效) \end{cases}.$

量子能量

1900年的10月，柏林大学的普朗克已经与黑体辐射斗争6年，在拿到了维恩和瑞利-金斯公式之后，他开始尽最大的可能（甚至抛弃了”不可撼动“的经典物理公式）尝试融合这两个公式以导出一个统一的朴实的公式出来。最后得到了结果：

$\rho=\frac{c_1\lambda^{-5}}{e^{\frac{c_2}{\lambda T}}-1}$

把分母进行 1阶泰勒展开即可得到长波有效的公式，把分母的-1去掉即可得到维恩公式！

1900年12月14日，普朗克在德国物理学会上终于发表了他继上式给出之后，探索出该公式背后的深刻机理之后得出的结论——”能量在发生和吸收的时候，不是连续的，而是一份一份的“。能量最终的最小单位被命名为量子，他最终可以由如下公式给出：

$E=h\nu$

其中的 $h\approx 6.62\times10^{-27}$ 为一个常数，最终被成为普朗克常数。

普朗克作为老派科学家，虽然颠覆性地提出了与传统观念相违背的观点（离散之于连续），但是他本身也是不自信且保守的。这种事情也在后来的诸多科学家中都时有发生，他们都是量子力学的创始人，但却对量子有着一定的排斥或抛弃，与隔壁优雅的相对论并不相同。

光电效应

赫兹那个写在论文角落的发现最终还是引起了关注，最后形成了名为光电效应的现象，并且这个光电效应也有着”违反经典“的怪相。

光电效应简单来说就是指不同频率、强度的光能够打在金属上并且打出里面的电子。电磁理论认为，光作为一种波动，它的强度就代表了它的能量，所以强度越强，越能打出”顽固的“电子，而光的频率就决定了能打出电子的数量。但是实验却恰恰相反，能不能打出电子是由频率决定的，频率不到位，再怎么强的光强都不能伤电子分毫。

”难道上帝无意中把两封信装反了吗？“

彼时，在伯尔尼的瑞士专利局的一个小职员爱因斯坦结合了普朗克的发现，巧用 $E=h\nu$ 化解了这个所谓的难题。提高频率，量子的能量就越高，自然就能打出高能量的电子，而提高光强就相当于增加量子的数目，所以能打出更多数目的电子。进而得到了光电效应方程：

$\frac12mv^2=h\nu-P$

这里的关键假设就是：光以量子的形式吸收能量，没有连续性，不能累积。而组成光的能量的这个最小基本单位，后来被叫做”光子“。这一观点又一次把光视为”离散般“的存在，似乎是在向已经根深蒂固的波动说”宣战“，爱因斯坦本人也对该结论保持尤其谨慎的态度。但是，后来密里根想通过实验反驳”光量子“说时，实验结果恰恰印证了光电效应方程的正确性。

1923年，康普顿在研究X射线被自由电子散射的时候，也发现了利用传统波动理论无法解释的现象（康普顿效应）——散射出来的X射线还多出了一个波长更长的一部分射线。他苦思冥想之下尝试利用光量子理论来解释，正好又说得通。光的能量一部分传递给电子之后， $E$ 下降， $h$ 不变，所以 $\nu$ 下降，波长变长。

玻尔模型

在原子物理界，师承卡文迪许实验室彼时的负责人、电子的发现人 J.J 汤姆逊的卢瑟福通过 α粒子散射实验否认了汤姆逊的葡萄干布丁模型，提出了行星模型。这两种模型都是一种对原子结构的猜想。然而，行星模型根据经典理论是行不通的，所谓电子绕着原子核转动的这个模型，在经典理论框架下，电子会释放电磁辐射，从而最终坠落在原子核上。

然而卢瑟福的学生玻尔并未放弃这个模型，他在此基础上进行完善，引入了量子化的思想，对于计算氢原子光谱的里德伯公式给出了理论解释。具体来说，我们知道任何元素被加热时都会释放出含有特定波长的光线，将这些光线通过分光镜投射到屏幕上就能清晰看到一条条光谱线。对于氢原子来说，其波长的规律被巴尔默总结了出来，由下列公式给出：

$\nu=R\big(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\big)$

其中 $R$ 为里德伯常数。玻尔了解到这个公式后将其与量子化理论联系到了一起，得出结论：原子内部只能释放特定量的能量，说明电子只能在特定的”势能“位置之间转换。而在不同的”能级“之间跃迁的必要条件就是所获得的能量达到势差要求，即 $\Delta W=h\nu$ . 更具体一些，玻尔假设轨道中运动的电子的角动量的大小 $L$ 被量子化为正整数乘以约化普朗克常数 $\hbar$ ，即 $m_evr=n\hbar$ ，其中 $\hbar=h/\pi$ .

巴尔默公式中的 $R$ 原本是一个通过实验可以测出来的常数，但是利用波尔理论，可以通过直接推理出比如氢原子的里德伯常数为： $R_H=\dfrac{2\pi m_e e^4}{ch^3}$ ，当然可以推广到其他原子谱线中去。

事实上，除了原子能是量子化的，原子在空间中的运动方向也是量子的，电子的轨道平面要么平行于磁场方向，要么垂直。著名的斯特恩-盖拉赫实验证实了这一点。因为电子绕原子核运转相当于一个微弱的环形电流，会产生磁矩，那么对原子施加磁场时，原子必然会发生移动。斯特恩-盖拉赫实验将一束银原子发射经过不规则的磁场，理论上来说原子的偏转角应该是五花八门的（连续的），但是结却是只有两种方向。

就这样，量子论在原子世界得到了应用和发展，年轻的泡利也通过提出：一层轨道只能包含有限个状态的电子，这一”规则“（泡利不相容原理）得以解释为什么一些电子能够长期占据外层电子轨道的疑惑，丰富了原子理论。

然而面临多个电子的原子，玻尔理论就显得有些苍白无力。玻尔提出”对应原理“，来尝试调和经典的电磁理论和自己的原子量子化理论，被批评为”旧瓶装新酒“。后面更是提出 BKS理论，不得不“牺牲”能量守恒原理，称其只是“一种统计下的评价情况”，这当然受到爱因斯坦等人的极力反对。玻尔理论后来也面对了越来越多无法解释的问题，只能通过秋后打各种补丁“息事宁人”，当然玻尔在本质上也不能解释为什么能级跃迁是量子的，属于是知其然不知其所以然。

德布罗意

德布罗意为了尝试揭开电子轨道的“离散”现象，或者换句话说为了理解电子的能量，借助了爱因斯坦相对论的质能方程 $E=mc^2$ 以及普朗克的 $E=h\nu$ 立即得到了 $\nu=mc^2/h$ 的结论，换句话说，电子也存在一个内在的频率，它也有“什么东西在震动”！更进一步地，甚至可以得出电子也是波的言论，还可以计算出它的波长 $\lambda=h/mv_0$ . 德布罗意把这种波叫做“相波”，被叫称为德布罗意波。

实际上，按照上面的公式联立的话，我们甚至可以得出万物都是波的说法，所以这个发现也被成为物质波。这一发现顿时让物理界炸开了锅原本关于“光到底是什么”的光学大战因为光电效应而再次掀起，前线还在扭打，局面混乱，大后方突然说“电子也是波”，把一直以来对“电子是粒子”这种早就根深蒂固的观念给打破了。

德布罗意提出这个想法时还存在争议，收到学界的严厉质疑，“如果电子真的是波，那你去做一个电子的衍射实验看看”。而这个实验还真给 G.P. 汤姆逊和戴维逊在一次“无意”的实验中证明了电子是波，从而一举拿到了诺贝尔奖。有趣的是， G.P. 汤姆逊的父亲 J.J. 汤姆逊正式凭借发现了电子（并且是粒子）这一举动才在数年前拿到诺贝尔奖。

另一方面，一名自称玻色的印度人写信和爱因斯坦分享了自己的洞见，如果把光视为不可区分的粒子集合，那么可以一通操作推导出普朗克公式来，从“光的能量是量子的”这一说法直接落实到“光其实还是粒子的”这一观点上。爱因斯坦在其基础上发展出了玻色-爱因斯坦统计方法，服从这种统计的粒子被称为“玻色子”。这无疑又让光粒子说扬眉吐气了一番，“物理学家不得不在星期一三五把世界看成粒子，星期二四六看成波，星期天干脆在家祈祷上帝保佑”。

矩阵力学

1925年4月27日，海森堡结束了他跟随玻尔在哥本哈根的“量子气氛”的分为学习，回到了哥廷根，并开始着手研究氢原子光谱问题，他最终考虑从电子在原子中的运动出发，预备先建立运动模型，以日后突破玻尔体系解决不了的问题。

海森堡首先“开炮”的就是能级跃迁中那个不自然的能级的概念，我们在实验中只能“观测”到的永远是能极差，而不能“观测”到一个个能级。如果给最低能级置零，那么可以按照玻尔的规则依次通过能极差求和计算下一个能级，这就像一个一维数组。海森堡排斥了这种凡是都要假设的思想，考虑直接将能观测到的物理量显式地用数学表达出来，A能级到B能级的能量，A能级到C能级的能量都需要表达出来，于是，海森堡开创性地在物理学里面采用了“表格”形式的表达，在今天的视角看来，其实就是矩阵。

海森堡将他的这个论文拿给波恩评阅后，受到了肯定和赞扬，并且事后被波恩想起这个奇怪的乘法计算规则正式数学中的矩阵，随后波恩找到约尔当，三人继续利用矩阵改写了经典物理中的公式，比如哈密顿变换，并且支持扩展到任意个自由度，发表了著名的《论量子力学 I & II》，甚至推动了矩阵力学的发展。

这个新体系无疑是一个怪物，其乘法不满足交换律的性质（ $p\times q\neq q\times p$ ）让人头痛，而且矩阵这种“表格式”的规则在物理学界还是太过陌生了。狄拉克在了解到海森堡这种计算时，在记忆深处的提示和图书馆的帮助下找到了这种不满足交换律的“彼时更让人容易接受”的代数平替，那就是泊松括号。从泊松括号出发，狄拉克开展出了被他叫做 q数的代数计算（满足交换律的经典物理变量被称为 c数），借此结合哈密顿函数同样能推导能量守恒条件和玻尔频率条件。通过泊松括号，这个诞生在旧时代的记号被在此运用，“新力学其实和经典力学一脉相承”的观念被狄拉克表达出来。

电子自旋

波动方程

$\Delta\psi+\frac{8\pi^2m}{h^2}(E-V)\psi=0$

同根同源

哥本哈根

$p\times q\neq q\times p$

$\Delta p\times \Delta q\gt \frac{h}{4\pi}$

海森堡和玻尔
对于波的属性了解得越多，对粒子属性就了解得越少。

互补原理、概率解释和不确定原理构成哥本哈根诠释

光箱实验

爱因斯坦的相对论与EPR

薛定谔猫

延迟实验

延迟实验、观测决定坍缩、参与性宇宙模型、人择原理、自由意识，哥本哈根实证主义，主张不去想

宇宙投影

多宇宙诠释，埃弗莱特

量子自杀

隐变量论

玻姆利用线性关系反驳了冯诺依曼，量子势，放弃了定域性。甚至爱因斯坦也不认同。
贝尔不等式：

$|P_{xz}-P_{zy}|\leq1+P_{xy}$

阿斯派克特实验，量子纠缠

系综诠释

系综诠释和隐变量理论都有“爱因斯坦”这个根源，不同的是后者将量子论认为是没有参透实在本质的统计妥协，而前者则表示世界本质本来就是只有在统计背景下才有意义。但是这仍然牵扯到主观性问题上。

发展史