本文主要阅读评述：
1.《基于交比不变性和针孔模型的数码相机系统标定》（优秀论文1）
2.《透视投影中心圆投影定位和双目标立体系统标定》（优秀论文2）

问题描述

数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。

所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。

最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。

于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的 “点”。

实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如下图所示。所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。

图1：靶标上圆的像

有人设计靶标如下，取 1 个边长为 $100mm$ 的正方形，分别以四个顶点（对应为$ A、C、D、E$）为圆心， $12mm$ 为半径作圆。以 $AC$ 边上距离$ A$ 点 $30mm$ 处的 $B$ 为圆心， $12mm$ 为半径作圆，如图 2 所示。

图2：靶标示意图

用一位置固定的数码相机摄得其像，如图 3 所示。

图3：靶标的像

请：

（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心， $x-y$ 平面平行于像平面；

（2）对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是 $1577$ 个像素单位(1 毫米约为 $3.78$ 个像素单位)，相机分辨率为 $1024×768$ ；

（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

阅读分析

方法与步骤

论文一

该组论文首先通过证明，得出结论：空间投影并不都是保形变换，当物面与像面之间有夹角时，正圆的投影一般是椭圆，变形程度取决于物面与像面间的平移和转角；圆心在像平面上的投影一般不是椭圆的形心。

把数码相机的摄像过程简化为靶标通过射影变换成为其在数码相机相平面上的像，利用射影变形的交比不变性得到问题一的结果。之后更进一步，通过对图像进行边缘提取，采用最小二乘法拟合出五个椭圆的方程，然后再利用交比不变性计算圆心，以得到像坐标。

为了验证模型，该论文利用计算机视觉中的针孔模型，通过参数设置、坐标变换的方式求出像坐标，并与上述交比不变性得到的坐标进行比较验证。

为了得出两个相机的相对位置，先给出各自固定的坐标系，再将问题转化为确定这两个坐标系之间的变换关系问题，从而得到答案。

数码相机系统标定示意图

论文二

该组论文针对问题一和问题二分别建立了离散型模型和连续型模型，在假设了光学系统为针孔成像系统后，分别引入像素图像坐标系、物理图像坐标系、相机坐标系与世界坐标系（与论文一类似）后，利用 Burnelleschi的针孔模型列出透视方程，于是可求解出实物在世界坐标系的轨迹方程，从而得到像坐标。

此外，该论文还考虑到了相机镜头畸变问题，对原模型进行了改进。给出了考虑畸变的非线性模型的基本投影关系式，由Tsai二步标定思想对表达式进行化简，通过最小二乘法得到参数。

在求解上，该论文采用Newton迭代法对建立的多目标规划进行求解问题一，将问题二得到的超越方程组通过自定义较小步长的搜索法进行求解。不仅如此，该论文还给出了特殊的解法。

关于模型的验证，该论文中直接给出了“做实验进行验证”的思路。